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Construisez votre fractale





Schéma représentant les différentes étapes de construction d'une fractale

Faites-le vous-même

Pliez une feuille de papier au format (1x2) en deux ; de part et d'autre du milieu de la face pliée, marquez-en la moitié (au 1/4 et 3/4 de la longueur). Tracez et coupez deux droites AM et A'M' de même longueur que leur écartement (1/2 coté). Ouvrez la feuille et contre-pliez AA' pour obtenir une marche. Sur la feuille pliée vous obtenez un carré vide dans votre pliage : repérez-en le coté plié AA' pour répétez l'opération : de part et d'autre de sa médiane, tracez et coupez deux droites de la longueur du demi-segment, ouvrez et contre-pliez... répétez aussi longtemps que possible ces étapes au milieu du pli.

Un monde fractal ?
Comment représenter la silhouette d'une rivière sinueuse ou d'une côte escarpée ? Et la forme d'un nuage, d'une flamme ou d'une soudure ? En observant une feuille de fougère dans le détail, vous remarquerez qu'elle semble répéter un même motif mais à des échelles toujours plus petites. L'observation dans la nature de ce type de structure a inspiré le mathématicien Benoit Mandelbrot dans le développement de la géométrie fractale.

Pour en savoir plus :

Dans l'escalier de cubes de tailles décroissantes ainsi obtenu, vous remarquerez le plus grand au centre, encadré d'un motif ou se répète un de taille moindre, encadré lui-même de deux plus petit : après deux pliages, dans l'ordre 2-1-2, après trois pliages 3-2-3-1-3-2-3, après quatre 4-3-4-2-4-3-4-1-4-3-4-2-4-3-4, voire après 5 pliages (et une grande feuille !) ... 5-4-5-3-5-4-5-2-5-4-5-3-5-4-5-1-5-4-5-3-5-4-5-2-5-4-5-3-5-4-5 ; d'autres pliages sur le même principe sont réalisables et on y retrouvera toujours le même arrangement.



Lorsque le mathématicien français Edouard Lucas invente le principe de la tours de Hanoï en 1883, où l'on doit déplacer une pile de disque de taille différente en respectant le principe de ne toujours replacer un disque plus petit sur un grand (vous y avez certainement joué en culotte courte) il ne soupçonne sans doute pas que les mathématiques s'intéresseront toujours à ce type de problème pour modéliser le monde qui nous entoure quelques siècles plus tard. Il est alors intéressant de remarquer la similitude entre la stratégie du jeu et l'ordre de cette fractale ; on doit au mathématicien allemand Andreas M. Hinz d'avoir étudié et résolu la question d'un minimum de coup pour réaliser le défi de la tour de Hanoï.

Retrouvez l'ensemble de ses travaux sur la tour de Hanoï en suivant ce lien "Tower of Hanoi"

Ici en photo, un exemplaire réalisé par Jean Brette, ancien directeur du département mathématique du Palais de la découverte pour l'exposition "Pourquoi les mathématiques" ; Passionné de culture mathématique, il aimait les rendre accessible à tous et partager sa curiosité dans leurs aspects tout autant ludiques que sérieux. Il nous a quitté le 9 février dernier. Centre Sciences s'associe à ses proches, amis et collègues pour lui rendre hommage.

Éveiller notre curiosité scientifique tout en nous amusant : c'est le pari de ce rendez-vous avec Centre•Sciences, Centre de promotion de la Culture Scientifique Technique et Industrielle de la région Centre-Val de Loire.

Page mise à jour le 01 mars 2017 à 16h18
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